总结: Perpetual Binary Barrier Option

发信人: weekendsunny (醉生梦死), 信区: Quant
标  题: 总结: Perpetual Binary Barrier Option
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 31 22:38:09 2010, 美东)

Zhucai mm今天说的那个经典问题，说现在的股价是S=$80， 有个barrier是K=$100，
第一问: B>S.  一个option， paysoff $1 when the stock hits B. 问价格是多少。
第二问,如果是B<S呢？

看完了资料,总结.欢迎讨论交流
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大部分人同意的做法:
现在买1/100只股票,stoppingtime的时候,payoff一样.所以定价应该是80*1/100=$0.8.
咋看起来没问题.
那问个问题哈,如果我今天replication的portfolio是1/50股票-$1呢,payoff还是一样.
那这个portfolio的定价是0.6.当然你还可以制造出无数个不同的replication的
portfolio.也就是market不是non-arbitrage的,除非..除非你多给点条件..

加一个条件:
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看heard上面的question2.3,他实际上加了一个条件:
(原条件)如果S(<K)向上 hit K=$100, knock-out with $1;
(新条件)如果S向下 hit 0, knock-out with $0;
然后结果就对了.non-arbitrage了
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如果不加这个条件:
当然了,risk-neutral pricing还是能算出结果的,其实就是假设stock
price是GBM,然后dS/S=rdt+sigmadW,算E(exp(-r*tau)),tau是hit K的stopping time.
这个时候,如果假设r=0,lnS的drift是-0.5sigma^2,那就等价于求P(tau<\infty).这个
是小于1的,因为你drift是负.
这个结果和加上了新条件后的结果一样
这个结果和heard上解带两个boundary条件的PDE也一样:
V_t+rSV_s+0.5sigma^2S^2V_ss=rV, with V(S=100)=1, and V(0)=0.

第二问:
1.如果初始价格S>K,且还假设r=0,那依然还不是non-arbitrage的.因为你可以做任何的
replication portfolio.
如果假设r>0,且股票没有分红的话,那这个portfolio没法造,因为你买股票要借钱,银行
收利息的.万一S用很长很时间才hit K,那你利息就亏大了.

2.这个时候risk neutral的定价就还是是E(exp(-r*tau)),tau是hit K的stopping time
.这个可以通过构造exp(-r*tau+clnS)成为martingale去算.

**至于是不是non-arbitrage的唯一定价..没想清楚呢..好像是..**

3.用PDE的话,带一个boundary(实际上是stopping time的boundary condtion),就可以
用类似wilmott那本书的推理方法去解,那就是V(s)=BS^{-2r/sigma^2}.然后类似思路去
求B.只不过这里的V(S*)=1,instead of V(s*)=E-S* on wilmott's book.

同样的,PDE的来源,本来就是在假设了risk-neutral的measure下面的SDE推到出来的.所
以这个结果应该跟上面的第二种一样,都是risk-neutral的定价.至于是不是non-
arbitrage的唯一定价..没想清楚呢...